Lorsque vous mélangez un jeu de cartes, vous pouvez avoir l’impression de créer un ordre totalement aléatoire, mais ce n’est pas aussi simple que cela. Derrière cet acte apparemment banal se cache une fascinante réalité mathématique. Les mathématiciens ont étudié en détail la manière de mélanger. Leurs découvertes révèlent des secrets étonnants.
Le défi du mélange aléatoire
Un jeu standard comporte 52 cartes et le nombre de permutations possibles (ou arrangements) est astronomique. Pour être précis, il y a environ 8×10^67 façons différentes de disposer ces cartes, un nombre tellement grand qu’il dépasse largement l’âge de l’Univers, même si on utilisait un superordinateur pour les générer.
Pourtant, malgré ces possibilités infinies, lorsque vous mélangez vos cartes, vous pourriez bien finir par voir certaines séquences familières se répéter. En d’autres termes, le mélange, bien que théoriquement aléatoire, ne l’est pas toujours en pratique. Cela s’explique par le fait qu’un mélange insuffisant peut créer des patterns plutôt que de redistribuer les cartes de manière vraiment aléatoire.
Les différentes techniques de mélange
Il existe plusieurs méthodes pour mélanger un jeu. L’une des plus courantes est le mélange à la main, que vous avez sûrement déjà pratiqué. Dans cette méthode, vous divisez le jeu en petits paquets et les intercalez progressivement. C’est un mélange qui peut paraître efficace, mais en réalité, il n’est pas optimal du point de vue mathématique. Selon Johan Jonasson, professeur en analyse des probabilités, un mélange à la main peut exiger plusieurs milliers de répétitions pour donner un résultat à peu près aléatoire.
Un autre moyen populaire est le riffle shuffle où vous divisez le paquet en deux moitiés et les entrelacez, les cartes se chevauchant en une sorte de va-et-vient. Cette méthode est plus efficace que le mélange à la main. En fait, elle est utilisée dans les casinos et les compétitions de cartes précisément parce qu’elle est plus proche du véritable hasard.
La science derrière le riffle shuffle
En 1990, deux mathématiciens, Dave Bayer et Persi Diaconis, ont mené une étude approfondie sur le mélange des cartes. Ils ont démontré le nombre exact de mélanges de riffle shuffle pour que les cartes soient suffisamment mélangées pour ressembler à un ordre aléatoire, une estimation qui découle des mathématiques derrière les probabilités.
La distance au caractère aléatoire est un concept fondamental pour comprendre à quel point un jeu de cartes est bien mélangé. Il permet de mesurer la proximité d’un jeu de cartes à un ordre véritablement aléatoire. En d’autres termes, cette distance évalue à quel point un jeu, après un certain nombre de mélanges, ressemble à une distribution totalement imprévisible des cartes.
L’idée est que même après plusieurs mélanges, un jeu de cartes peut encore présenter des motifs ou des régularités. Par exemple, les cartes peuvent être placées dans une séquence qui est plus prévisible qu’un véritable mélange aléatoire. La distance au caractère aléatoire quantifie cette prévisibilité. Plus cette distance est faible, plus les cartes sont réparties de manière aléatoire.
Alors, combien de mélanges faut-il ? Grâce à des analyses complexes et des simulations informatiques, les mathématiciens ont déterminé qu’après environ sept mélanges, cette distance au caractère aléatoire devient suffisamment petite pour que le jeu soit presque aussi aléatoire que possible. En d’autres termes, après sept mélanges, les cartes sont redistribuées de manière à ce qu’il soit extrêmement difficile, voire impossible de prédire leur ordre.
Mais attention, mélanger encore plus n’a pas vraiment d’avantages. Bayer et Diaconis ont en effet observé qu’au-delà de sept mélanges, les cartes ne deviennent pas plus aléatoires et peuvent même revenir à un ordre plus ordonné. Par exemple, après huit mélanges, vous pourriez retrouver une disposition proche de celle d’un mélange parfait.
